Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit

Definition

Den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ kann man auch als das „Wahrscheinlichsein“ bezeichnen. Die Wahrscheinlichkeit ist allgemein der Grad von Möglichkeit. Aussagen oder Urteile können generell „möglich“ oder „sicher“ sein. Wahrscheinlichkeit bedeutet nun, dass die Aussagen oder Urteile, je nach Grad des Geltungsanspruches, zwischen „möglich“ oder „sicher“ eingestuft werden.

Die Wahrscheinlichkeit kann außerdem noch als vermutete Richtigkeit umschrieben werden.

Die Wahrscheinlichkeit in der Mathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung soll berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufälliges Ereignis eintritt, oder nicht eintritt.

a) Der historische Hintergrund der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat sich im 17. Jahrhundert entwickelt und zwar im Zusammenhang mit Glücksspielen. Der erste Mathematiker, der ein Werk über die Wahrscheinlichkeitsrechnung verfasste, war Jakob Bernoulli. Sein Werk „Ars conjectandi“ (=„Die Kunst der Vermutungen“), das sich hauptsächlich mit Glücksspielen beschäftigt, wurde 1713 veröffentlicht. Warum sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu Beginn vor allem um Glücksspiele drehte, lässt sich damit erklären, dass es um den Versuch ging, zufällige Ereignisse durch Wiederholung in eine mathematische Theorie zu bringen.

b) Stochastik

Stochastik ist ein Begriff der sehr häufig in Verbindung mit Wahrscheinlichkeit auftritt. Der Begriff Stochastik kommt aus dem griechischen und leitet sich von folgenden Begriffen ab:

- stóchos: Ziel, Mutmaßung

- stochastinós: scharfsinnig im Vermuten

- stocházomai: etwas erraten, beurteilen, erkennen

Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik. In der Stochastik wird versucht bestimmte Gesetzmäßigkeiten (z.B. häufig eine Münze werfen – sie wird ungefähr in der Hälfte der Fälle auf der Zahl landen) des Zufalls mathematisch zu erfassen und darzustellen.

c) Die Laplace’sche (= klassische) Wahrscheinlichkeit

Man kann nie genau voraussagen, welches Ergebnis bei einem konkreten Versuch an einem konkreten Zufallsgerät herauskommt, da dies vom Zufall abhängt. Man kann jedoch die so genannte Ergebnismenge Ω des Experiments genau festlegen. Die Ergebnismenge sind alle Möglichkeiten, die beim Ergebnis herauskommen können.

Beispiel: Eine Münze

Beim Werfen einer Münze gibt es zwei mögliche Versuchsergebnisse Ω, nämlich Kopf (Vorderseite) und Zahl (Rückseite).

Die Angabe der Ergebnismenge reicht jedoch noch nicht ganz aus, um das Zufallsexperiment ausreichend zu beschreiben. Wichtig ist es noch herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Versuchergebnisse auftreten. Dies wird mit der Laplace’schen Wahrscheinlichkeitsregel berechnen:

d) Die statistische Wahrscheinlichkeit

Die statistische Wahrscheinlichkeit soll die relativen Häufigkeiten n(E) beschreiben, mit welcher bestimmte Ereignisse E bei häufiger Wiederholung eines bestimmten Zufallsexperiments n auftreten. Diese relative Häufigkeit scheint gegen einen festen Wert zu gehen, wenn das Experiment unendlich oft wiederholt werden würde. Die Wahrscheinlichkeit P des Ereignisses E kann also nur geschätzt werden. Wenn also:

Weitere Interpretationen von Wahrscheinlichkeit

a) Die geometrische Wahrscheinlichkeit

Die geometrische Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch die Übertragung der klassischen Wahrscheinlichkeit (= Laplace’sche Wahrscheinlichkeit) auf Zufallsexperimente. Diese Experimente zeichnen sich in diesem Fall durch eine Menge von Ereignissen aus. Geometrische Wahrscheinlichkeit bedeutet also, dass die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis E das Verhältnis von einem Teil zum Ganzen darstellt. Der Teil und auch das Ganze werden dabei durch geometrische Figuren (vor allem durch Längen, Flächen und Volumina) bestimmt.

b.) Die subjektive Wahrscheinlichkeit

Die subjektive Wahrscheinlichkeit bestimmt auf der einen Seite den Grad, mit welchen man darauf vertraut, dass ein bestimmtes Ereignis eintreten wird. Auf der anderen Seite geht es darum, wie sehr man von einer Aussage überzeugt ist. Der Grad des Vertrauens, bzw. der Überzeugtheit, hängt vom persönlichen Informationsstand ab.

c) Die Propensitäts – Interpretation von Wahrscheinlichkeit

Die Propensitäts – Interpretation von Wahrscheinlichkeit geht davon aus, dass jede experimentelle Anordnung bestimmte Folgen von Ereignissen mit sich bringt, welche in bestimmter Häufigkeit auftreten. Man geht weiters davon aus, dass die Häufigkeiten von dieser bestimmten Anordnung des Experiments abhängen, wenn dieses oft wiederholt wird. Die Häufigkeiten sind in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit muss also als Merkmal dieser Anordnung betrachtet werden, da sie ja von ihr abhängig ist. Die Wahrscheinlichkeit zeigt also „die Neigung (Propensität) der experimentellen Anordnung, bestimmte typische Häufigkeiten von Ereignissen zu verursachen, wenn das Experiment oft wiederholt wird.“ (Popper 1957, aus 1)

Literatur

Babutzka, Carolin / Berndl, Andrea / et al. (1991): neues großes Lexikon

Georgii, Hans-Otto (2004): Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 2. Auflage. De Gruyter Lehrbuch: Berlin

Götz, Stefan / Reichel, Christian / Müller, Robert / Hanisch, Günter (2004): Lehrbuch der Mathematik. Band 7, 4. Auflage. öbv et hpt Verlags GmbH & Co.KG: Wien

Rohwer, Götz / Pötter, Ulrich (2002): Wahrscheinlichkeit: Begriff und Rhetorik in der Sozialforschung. Juventa Verlag: Weinheim und München

Wahrig – Burfeind, Renate (2001): Wahrig illustriertes Wörterbuch. Bertelsmann Lexikon Verlag GmbH: Güthersloh und München

Vogel, Friedrich (2005): Beschreibende und schließende Statistik. Formeln, Definitionen, Erläuterungen, Stichwörter und Tabellen. 13. Auflage. Oldenburg Wissenschaftsverlag: Wien