Beweis

Synonyme für Beweis sind die Wörter „Schluss“, „Ableitung“, „Beleg“, „Indiz“. Gegenwörter sind „Hypothese“, „Behauptung“ oder „Annahme“.

Die Geometrie durch Euklid und die Philosophie durch Platon waren die ersten Gebiete, in denen die Methode des Beweises angewendet wurde. Aristoteles schaffte die erste Beweistheorie.

Seit dem 17. Jahrhundert findet man den Begriff auch auf dem Gebiet der Mathematik.

Meistens verbindet man auf Anhieb das Wort „Beweis“ mit dem Rechtswesen bzw. in Verbindung mit einem Gerichtsverfahren. Beweise werden herangezogen um gewisse Sachverhalte festzustellen und sie werden somit zur Tatsache.

Unter Beweismittel versteht man jene Dinge, derer sich die Parteien, die an einem Rechtsstreit beteiligt sind, vor Gericht bedienen können um eine Behauptung zu beweisen. Sie dienen also zur Hilfe der Wahrheitsfindung, denn durch die Beweismittel kann man davon überzeugt werden, dass eine Behauptung wahr oder unwahr ist. Demnach sollen sie die Überzeugung des Richters über eine Tatsache herbeiführen. Dazu können gehören: Zeugen (Personenbeweis), Urkunden, Papiere, aber auch Sachbeweise wie zum Beispiel eine Tatwaffe oder hinterlassene Spuren.

Bei der Beweisfindung unterscheidet man 3 Schritte:

Beweisantritt: Ein Beweismittel wird ernannt um eine Behauptung zu manifestieren oder um von einer Unrichtigkeit zu überzeugen. In der deutschen Zivilprozessordnung, steht unter § 373 Beweisantritt folgendes:

„Der Zeugenbeweis wird durch die Benennung der Zeugen und die Bezeichnung der Tatsachen, über welche die Vernehmung der Zeugen stattfinden soll, angetreten.“

Beweisaufnahme: Dabei macht sich das Gericht ein eigenes Bild vom Beweismittel, wobei das Prozessgericht anordnen kann, dass bei der Einnahme des Augenscheins ein oder mehrere Sachverständige hinzugezogen werden.

Freie Beweiswürdigung: Aufgrund der Beweisaufnahme erlangt das Gericht eine Überzeugung von der Richtigkeit der Beweise.

„Das Gericht hat unter Berücksichtigung des gesamten Inhalts der Verhandlungen und des Ergebnisses einer etwaigen Beweisaufnahme nach freier Überzeugung zu entscheiden, ob eine tatsächliche Behauptung für wahr oder nicht wahr zu erachten sei. In dem Urteil sind die Gründe anzugeben, die für die richterliche Überzeugung leitend gewesen sind.“ (§ 286 Freie Beweiswürdigung; deutsche Zivilprozessordnung.)

Die Mathematik kann als die Wissenschaft des strengen Beweises angesehen werden, denn im Gegensatz zu anderen Gebieten, in denen Theorien auf Erfahrungen, Meinungen, Beobachtungen und Wahrscheinlichkeit basieren, gilt in der Mathematik eine Behauptung nur dann als richtig, wenn man sie auch beweisen kann, d.h. wenn ihre Richtigkeit also mit Hilfe eines mathematischen Beweises nachweisbar ist.

Ein mathematischer Beweis ermöglicht immer wieder die vollständige Überprüfung und Beurteilung eines Sachverhalts, der in Frage steht. Obwohl er dabei ständig einer Kritik unterliegt, hilft er Irrtümer und Unklarheiten aus dem Weg zu räumen.

Grundlegend gibt es 2 Gruppen von Beweisstrategien:

direkte oder indirekte Beweise, wobei letztere auch Widerspruchsbeweise genannt werden

konstruktive oder nicht-konstruktive Beweise

Bei einem direkten Beweis wendet man Aussagen, die bereits bewiesen sind, und logische Schlussfolgerungen an, um eine Behauptung zu beweisen.

Bsp.: Wenn a durch 6 teilbar ist, dann gibt es eine ganze Zahl k, so dass a = 6 * k gilt. Da 6 = 2 * 3, folgt a = (2 * 3) * k. Durch Umformung erhält man a = 3 * (2 * k). Weil 2 * k eine ganze Zahl ist, folgt schliesslich, dass a durch 3 teilbar ist.

Bei einem Indirekten Beweis bzw. Widerspruchbeweis (reductio ad absurdum) hingegen veranschaulicht man, dass ein Widerspruch entstehen würde, wenn die Behauptung, die es zu beweisen gilt, falsch wäre. Man geht also in erster Linie davon aus, dass eine Aussage falsch ist. –> Um eine Aussage A zu zeigen, nimmt man an, dass -A (also NICHT A) gilt und führt damit einen Widerspruch herbei.

Bsp.: Es sei angenommen, dass a und b gerade sind, und dass a * b ungerade ist. Da b gerade ist, kann b geschrieben werden als b = 2 * k für eine ganze Zahl k. Deshalb gilt a * b = 2 * (a * k). Da a * k eine ganze Zahl ist, muss a * b gerade sein. Damit haben wir einen Widerspruch zur Annahme hergeleitet.

Unter konstruktiven Beweis versteht man, dass entweder die Lösung selbst genannt wird, oder dass ein Verfahren eingeleitet wird, dass die Lösung erbringt.

Bsp.: „Jede natürliche Zahl hat eine Primfaktorzerlegung.“

Dieser Satz hat einen konstruktiven Beweis, denn es gibt einen Algorithmus, der diese Primfaktorenzerlegung berechnet.

Bei den nicht-konstruktiven Beweisen hingegen, weiß man nicht wie man zur Lösung kommt, sondern es wird anhand von Eigenschaften auf die Existenz einer vorhandenen Lösung geschlossen.

Das Gebiet, das uns im Zusammenhang mit der Vorlesung, am meisten interessieren sollte, ist der Beweis in der Logik bzw. in den Wissenschaften.

Auch hier gilt der Beweis als eine gültige Herleitung der Richtigkeit (in diesem Zusammenhang auch Verifikation genannt) oder Unrichtigkeit (Falsifikation) einer Aussage.

Eine Aussage, die mit Hilfe von Schlussregeln oder auch Axiomen bewiesen wird, wird auch Satz oder Theorem genannt.

Wenn man bei einer logischen Herleitung nun aber nur Annahmen verwendet, nennt man die Annahmen Prämissen und die hergeleitete Aussage ist dann eine Konklusion. (Man hat dann bewiesen, dass aus den Prämissen die Konklusion folgt.)

In derWissenschaftstheorie unterscheidet man zur Beweisführung 3 verschiedene Schlussfolgerungsweisen, die bestimmten Regeln unterliegen:

Deduktion

Induktion

Abduktion

Der deduktive Beweis erfolgt nach festen logischen Schlussregeln und ist die Ableitung eines Urteils aus Voraussetzungen, die als wahr gelten. Er führt zu einer endgültigen Richtigkeit einer Aussage.

z.b. der Satz des Pythagoras (a² + b² = c²)

Den induktiven Beweis nennt man auch empirischen Beweis, da man durch Erfahrungen und Beobachtung zu einer gewissen Aussage kommt. Dadurch kann man aber keine absolute Gewissheit über den tatsächlichen Wahrheitsgehalt erlangen.

Der Begriff „Abduktion“ wurde von dem amerikanischen Theoretiker Charles Sanders Peirce eingeführt Bei der Abduktion schliesst man von einem vorliegenden Resultat und einer spontan gebildeten Regel auf einen Fall.

„Abduktion ist der Vorgang, in dem eine erklärende Hypothese gebildet wird.“

Rusterholz, Peter (2003): Wege zu wissenschaftlichen Wahrheiten. Vermutung - Behauptung - Beweis. Bern, Peter Lang AG

Meinel, Christoph/ Mundhenk, Martin (2000): Mathematische Grundlagen der Informatik. Leipizig, B.G. Teubner Stuttgart

Schurz, Gerhard (1988): Erklären und Verstehen in der Wissenschaft. München, Oldenbourg Verlag GmbH

www.wikipedia.de

http://dejure.org/gesetze/ZPO